✅@2023-06-09T08:50D90 AM4-2023F-8
各自の到達目標の達成度のcheck到達目標の達成度を確認し、自身の現状を把握する。
試験返却
$ \sum_{0\le n<N}|C_n|^2
$ = \frac1{N^2}\sum_{0\le n<N}\sum_{0\le k<N}\sum_{0\le l<N}X_ke^{-2\pi i\frac{nk}{N}}X_le^{-2\pi i\frac{nl}{N}}
$ = \frac1{N^2}\sum_{n,k,l\in[0,N\lbrack}X_kX_le^{-2\pi i\frac{nk}{N}}e^{-2\pi i\frac{nl}{N}}
後半
Fourier解析で微分方程式を解く
keywords
シラバス変えるらしい
今日やること
確認：離散Fourier変換
Fourier変換のプログラムもこの式を使っている
$ {\cal F}(X)_n=\frac1N\sum_{0\le k<N}X_ke^{-2\pi i\frac{nk}{N}}ー①
$ {\cal F}^{-1}(C)_k=\sum_{0\le n<N}C_ne^{2\pi i\frac{nk}{N}}ー②
今日からこれを少し加工する
$ T=N\varDelta tとして、①の両辺に$ Tをかける
$ T{\cal F}(X)_n=\sum_{0\le k<N}X_ke^{-2\pi i\frac{nk}{N}}\varDelta t
これを$ \varDelta t\to\inftyして積分表記に持っていく
なお、$ \hat{X}_n:=T{\cal F}(X)_nとしておく
問
②を使って$ \hat X_nと$ X_kの関係を求めよ
$ X_k={\cal G}(\hat X)_k
$ X_k=\frac1T\sum_{0\le n<N}TC_ne^{2\pi i\frac{nk}{N}}($ \because ②)
$ = \frac1T\sum_{0\le n<N}\hat X_ne^{2\pi i\frac{nk}{N}}
アホほど単純な話だったtakker.icon
時間かけすぎた
$ =\sum_{0\le n<N}\hat X_ne^{2\pi i\frac{nk}{N}}\varDelta f
ここで、$ \varDelta f=\frac1Tを使った
$ \frac{1}{N\varDelta t}=\frac1T=\varDelta fだから
$ \varDelta f\varDelta t=\frac1N
$ f\sim T|C_n|図を書く
例：地震記録のスペクトル単位は
$ \rm cm\cdot s^{-2}\cdot s=cm\cdot s^{-1}
時間をかけることに注意
まとめ
$ \hat X_n=\sum_{0\le k<N}X_ke^{-2\pi i\frac{nk}{N}}\varDelta t
$ X_k=\frac1{2\pi}\sum_{0\le n<N}\hat X_ne^{2\pi i\frac{nk}{N}}\varDelta\omega
ここで、角振動数$ \varDelta\omegaを使う $ \varDelta\omega=2\pi\varDelta f
(複素指数函数|三角函数)の肩の定数をなくすための変換だろうか
$ T\omega=2\pi
単位時間($ \rm Hzなら1秒)あたりに何回振動するかを表す
一回振動するのにかかる時間が周期$ Tだから、$ f=\frac1Tである $ T\omega=2\piより、$ \omega=2\pi f
指数函数の中身を角振動数で簡略化する
$ 2\pi i\frac{nk}{N}=Ti\frac{nk}{N}\varDelta\omega=i(k\varDelta t)(n\varDelta\omega)
$ \because \varDelta\omega=2\pi\varDelta f=\frac{2\pi}{T}
$ \because T=N\varDelta t
$ k\varDelta tを$ tに、$ n\varDelta\omegaを$ \omega持っていくのだろうか？
これらで$ \hat X_n,X_kを書き換える
$ \hat X(n\varDelta\omega)=\sum_{0\le k<N}X(k\varDelta t)e^{-i(k\varDelta t)(n\varDelta\omega)}\varDelta t
$ X(k\varDelta t)=\frac1{2\pi}\sum_{0\le n<N}\hat X(n\varDelta\omega)e^{-i(k\varDelta t)(n\varDelta\omega)}\varDelta\omega
途中略して、意味だけを考えて積分に移行させる
Fourier変換$ \hat X(\omega)=\int_\R X(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t Fourier逆変換$ X(t)=\frac1{2\pi}\int_\R \hat X(\omega)e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega 下限の$ -\inftyはどこからでてきたんだろうtakker.icon
$ {\cal F}(X)_n=\frac1N\sum_{0\le k\le N}X_ke^{-2\pi i\frac{nk}{N}}
$ = \frac1T\sum_{0\le t\le T}X_{\frac{tN}{T}}e^{-i\omega t}\varDelta t
$ t:=\frac kNT,\omega:=2\pi\frac{n}{T}とした
$ = \frac{\varDelta\omega}{2\pi}\sum_{0\le t\le T}X_{\frac{tN}{T}}e^{-i\omega t}\varDelta t
練習
$ \int_\R e^{-\alpha t^2}e^{\pm i\omega t}\mathrm{d}t=\sqrt{\frac \pi a}e^{-\frac{w^2}{4a}}\quad\text{.for }\forall a>0を用いて、実際に逆変換になっているか確かめる
cf. $ \hat\ (e^{-at^2})=\int_\R e^{-\alpha t^2}e^{-i\omega t}\mathrm{d}t=\sqrt{\frac \pi a}e^{-\frac{w^2}{4a}}
これを逆変換に通して、$ e^{-at^2}に戻るか確かめる
次回導出をやるかも
任意函数でやってみる
$ \int_\R X(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t=\frac1{2\pi}\int_R\int_R \hat X(\omega')e^{i\omega' t}\mathrm{d}\omega' e^{-i\omega t}\mathrm{d}t
$ =\frac1{2\pi}\int_{(\omega',t)\in\R^2} \hat X(\omega')e^{i\omega't-i\omega t}\mathrm{d}\omega'\mathrm{d}t
$ =\frac1{2\pi}\int_{(\omega',t)\in\R^2} \hat X(\omega')e^{i(\omega'-\omega) t}\mathrm{d}\omega'\mathrm{d}t
$ = \frac1{2\pi}\int_\R\hat X(\omega')\int_\R e^{i(\omega'-\omega)t}\mathrm{d}t\mathrm{d}\omega'
あー、任意函数でもとに戻るわけではないのか